Cuántica (VI): La partícula prisionera

Matemáticas = Cuántica. Pero no Matemática de Ruffini y "un día vi una vaca sin rabo vestida de uniforme". Matemáticas con mayúscula. Tanto, que muchos cálculos no se pueden hacer sin ordenador.


Para facilitar la cosas, se usan modelos. Situaciones que no se dan, pero son parecidas a otras que sí se dan. En este post vamos a ver el modelo más sencillo, el de la partícula en una caja.




Imaginemos una partícula encerrada en una caja de longitud L. Fuera, ponemos mucho potencial (infinito) para que no escape. La partícula se mueve en una única dirección. Con todas esas consideraciones, obtenemos:

Tanto la función de onda como la energía tienen fórmulas muy sencillas (en comparación con la que tendríamos en realidad). 


Vamos a calcular la longitud de onda y la energía de una partícula con este modelo. También vamos a aprender a usar WolframAlpha para representar la función de onda y la de probabilidad, y vamos a comentarlas.




NOTA: en todo momento usaremos un modelo unidimensional (solo se mueve en el eje x). Se puede usar un modelo bidimensional y tridimensional, pero para la finalidad de este post, nos quedaremos en una dimensión.

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Tenemos una partícula encerrada en una caja de longitud 10 m y en el nivel de energía 3. Si la masa es de 4 Kg, calcula un función de onda y su energía:

Ψ =  √(2/10) · sin (3πx/10) = 0'447 · sin(0'9425x)

E = (h·h·3·3) / (8· 4 · 10 · 10) ¨= 1'2325 ×10 ^-69 J

h = constante de Planck = 6'63 ×10 ^-34



Podemos representar la función de onda con WolframAlpha. Para ello solo cambiamos las comas de los decimales por puntos (anglosajones), y le damos al =. O sea, podemos "0.447 · sin(0.9425x)". Obtenemos:

 

Pero ojo, hemos dicho que nuestra partícula está encerrada en una caja de longitud 10, luego nos interesa solo la función de onda entre x = 0 y x = 10. Si introducimos en WolframAlpha "0.447 · sin (0.9425x), x = 0, x = 10", obtenemos:

Esta función me describe el movimiento de la partícula encerrada. En el ejemplo que hemos hecho, hemos usado una partícula con una masa de 4 Kg, o sea, de Cuántica nada. Podemos verlo en la energía, del orden de -69, ínfima casi.


¿Qué pasa si queremos calcular probabilidades (que como hemos dicho, es como vamos a trabajar en Cuántica)? Tal y como vimos en el post anterior, solo debemos elevar al cuadrado la función de ondas. Escribimos en WolframAlpha "(0.447 · sin (0.9425x))^2, x = 0, x = 10", le damos a "Use as referring to math instead" y obtenemos:

Donde se hace 0 es donde seguro que no está la partícula. Esas distancias son aproximadamente:


x = 0 (cero tercios de la longitud de la caja)
x = 3'4 (realmente 3'33, un tercio de la longitud de la caja)
x = 6'6 (realmente 6'66, dos tercios de la longitud de la caja)
x =10 (tres tercios de la longitud de la caja)


Donde hay un máximo, es donde hay más probabilidad de encontrar a la partícula. Esas distancias son:


x =1'75 (realmente 1'66, un sexto de la longitud de la caja)
x =5 (tres sextos de la longitud de la caja)
x = 8'25 (realmente 8'33, cinco sextos de la longitud de la caja)


Otro detalle en el que fijarse. La función de probabilidad es simétrica: la probabilidad de encontrar a la partícula en una mitad de la caja es la misma que la de encontrarla en la otra. Matemáticamente:


P (x < 5) = P (x > 5)


Si la partícula seguro que está en la caja, P (0 < x < 10) = 1, luego la probabilidad de encontrar a la partícula en el lado izquierdo de la caja (x<5) es 0'5 (50 %).

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Dejemos el ejercicio para ver algo más general. Esta ilustración compara energía y función de onda de partículas en una misma caja pero en distintos niveles de energía.


Vemos que la función de onda de la partícula de n=3, es idéntica a la que hemos calculado en el ejercicio. Y vemos que si n=1 "sube y baja" 1 vez, si n=2 "sube y baja" 2 veces, si n=3 "sube y baja" 3 veces ...


La diferencia de energía entre niveles aumenta, es decir, las ondas roja y azul están menos separadas que las ondas verde y roja, y estas menos separadas que las ondas negra y verde. O sea, a niveles de energía mayores, más separados estan.


¿ESTO PARA QUÉ SIRVE?


Este modelo es muy útil para empezar en Cuántica. Cálculos sencillos y donde se pueden aplicar conceptos importantes. 


Además de la utilidad pedagógica, sirve como aproximación a un modelo real, el de alquenos conjugados.

Los alquenos son moléculas con un enlace doble entre carbonos (-C=C-). Los que tiene dos (dienos) pueden ser:


ALENOS:-C=C=C-
CONJUGADOS: -C=C-C=C-
AISLADOS: -C=C-C-C-C-C-C=C-


Los conjugados tienen un interés especial. Como entre dobles enlaces hay un enlace simple (si hubiera más sería aislado, si no hubiera ninguno sería aleno), los carbonos redistribuyen sus electrones para que esos no están tan localizados sobre los alquenos. A esto se le llama resonancia, y no vamos a darle más importancia (aunque realmente la tiene, permite predecir productos de reacciones y explicar la especial estabilidad de estos alquenos):

  






Cada flecha representa dos electrones, luego tenemos cuatro electrones que en la primera forma se desplaza hacia la derecha y en la segunda hacia la izquierda. Y salir no pueden salir de ahí (a no ser que reaccione, entonces podrían salir). ¿No le vemos algo de parecido al modelo de partícula en una caja?
 

Salto de nivel el que hemos dado en este post. El objetivo era introducir unos cálculos cuánticos sencillos, aprender a interpretarlos y usar herramientas informáticas, algo fundamental en Cuántica. En el próximo post, menos cálculos, prometido.

 

Cuántica (V): Nos ponemos serios

Una función de onda es, eso, una función que me indica el movimiento que sigue una onda a medida que pasa el tiempo. Se representa como Ψ. Por ejemplo:  

            Ψ = senx                                                                               Ψ = cosx

 










Pero no todas son tan sencillas como esta, más quisieras. Por ejemplo, la del átomo de hidrógeno (el más sencillo de todos los átomos):

Imaginemos que tenemos una partícula que sigue una función de onda de Ψ, y se encuentra "encerrada" en una caja que mide L . ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partícula entre "a" y "b"? Pues se define como:

P (a ≤ x  ≤ b) = [∫Ψ·Ψ· dx] entre x=b y x=a


Eso es lo mismo que decir que esa probabilidad es el área de la región comprendida entre la función de onda al cuadrado, Ψ·Ψ, y el intervalo [a,b], o sea, el valor del área de la región amarilla.


Bueno, ¿y la probabilidad de encontrar a la partícula entre 0 y L? Pues si la partícula se encuentra encerrada en una caja, la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de la caja debe ser 1 (el 100 %). Pero no siempre es así. 


Siempre que nos dan una función de onda, debemos ver si se cumple esto; y si no, debemos normalizarla. No es más que multiplicarla por un número (constante de normalización) que haga que la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de la caja sea 1 (y no 2'5 o 0'33, lo cual sería un sinsentido). 


La ecuación de Schrödinger (sí, el del gato zombie) nos dice que:

H, es el hamiltoniano, un operador que nos da la energía total del sistema

E, es la energía del estado cuántico que estudiemos



No caigamos en quitar Ψ por estar multiplicando a ambos lados y decir H = E. No es una ecuación, es un problema de autovalores y autovectores, Matemáticas del nivel de primero de carrera, y que solo vamos a nombrar.

Recopilemos:

La función de onda describe ondas
Debe estar normalizada
La función de onda al cuadrado está relacionada con la probabilidad


La búsqueda de esas Ψ es algo muy complicado. Para simplificar el asunto, usamos modelos cuánticos. Algunos de ellos serán estudiados a partir del próximo post. Despedimos el post con un meme del amigo Schrödinger.


 

Cuántica (IV): Ondas

Una onda es una propagación de energía provocada por una perturbación. Por ejemplo, cuando tiramos una piedra a un lago, provocamos una perturbación en el agua, y se genera unas ondas que tienen una determinada energía.

El espectro electromagnético es el conjunto de las diferentes ondas electromagnéticas existentes. La diferencia entre las distintas ondas electromagnéticas es la longitud de onda (λ): hay ondas muy pequeñas y muy grandes. También la frecuencia de onda (v), que es el número de veces que la onda sube y baja en 1 segundo. La relación entre longitud y frecuencia es:



c = λ · v; siendo c = 300000000 m/s, la velocidad de la luz en el vacío


Si tenemos mucha λ, obligatoriamente v debe bajar (para que su producto sea c, que es una constante). O sea, λ y v son inversamente proporcionales (si sube una, baja la otra). 

Podemos ver como hay ondas muy grandes y otras muy pequeñas: las de radio miden 100 m, los rayos X miden 0'0000000001 m.

El espectro visible son las ondas que podemos ver (los colores). Como vemos, es una parte muy pequeña del espectro electromagnético.





Pensemos, ¿qué ondas serán más energéticas: las de radio o los rayos X? 
Calculemos la frecuencia:


v (radio) = c/λ =  3000000 Hz (o 1/s)
v (RX) = 3000000000000000000 Hz


O sea, en 1 segundo, la de radio sube y baja 3000000 veces, y la de RX, 1000000000000 veces más. A más veces suba y baje una onda en 1 s (a más v, luego, menos λ), más energía. Concretamente:


E = h · v, siendo h la constante de Planck: 6'63 ×10 ^-34

E (radio) = : 1'99 ×10 ^-27 J
E (RX) = : 1'99 ×10 ^-15 J
E(RX) > E(radio)



Recopilemos:




A más λ, menos v y menos energía; o sea, ondas grandes tienen poca energía
A menos λ, más v y más energía; o sea, ondas pequeñas tienen mucha energía

Cuántica (III): La duda siempre en mente

El Principio de Incertidumbre de Heissenberg nos dice que: 

 ħ = h/2π = 1'05 × 10 ^-34




En otras palabras, Heissenberg nos da a escoger entre saber muy bien cual es la posición (o sea, poco Δx, error de posición) y desconocer la velocidad (mucho Δv); o conocer muy bien la velocidad y desconocer la posición. Dos pregunta que quizás te hayan surgido:


1º ¿De donde sale v? "p" es el momento, que se define como m·v. La masa es una constante, luego lo que realmente varía (y donde cometemos más error) es en la posición. Luego el Principio de Incertidumbre se podría expresar como:


m · (Δx · Δv)  ≥ 1'05 × 10 ^-34


2º ¿Por qué solo se puede conocer bien una cosa? El producto de los errores es una constante. Luego si soy muy preciso en la posición, hago Δx muy pequeño, obligatoriamente Δv debe aumentar (para que el producto de ambos sea constante). Lo mismo si quiero ser muy preciso en la velocidad.


Este Principio se puede aplicar a todo (como hemos dicho, la Cuántica se puede aplicar a todo). Pero vamos a ver que en unos casos es importante, y en otros se puede despreciar.


Por ejemplo, imagina que un GPS me permite localizar un coche de 1500 Kg con una precisión de 5 m. ¿Cuál es la precisión que me puedo permitir en la velocidad?


Δv ≥ ħ / (m · Δx)
Δv ≥   7 × 10 ^-39 m/s


Como vemos, el error de la velocidad es muy pequeño, tan pequeño que ni lo notamos.

Ahora pongamos como ejemplo un electrón (m= 9'11 × 10 ^-31), cuya posición podemos conocerla con una precisión de 0'0000001 m. ¿Cuál es la precisión que me puedo permitir en la velocidad?


Δv ≥ 576'29 m/s


PODEMOS CONOCER LA VELOCIDAD DE CUALQUIER CUERPO CON UNA PRECISIÓN DE 0'005 m/s. ¿CON QUÉ PRECISIÓN PODEMOS CONOCER LA LOCALIZACIÓN DE UNA PELOTA DE 1 Kg Y DE UN PROTÓN (m = 1'67 × 10 ^-27Kg)? [SOLUCIÓN EN COMENTARIOS]


El error en la velocidad es muy grande, tanto, que no puedo conocer la velocidad.


Recopilemos:


En Cuántica solo podemos conocer bien la posición o la velocidad, pero no las dos


En Mecánica Cuántica debemos tener siempre la duda en mente (sin saber los dos datos, posición y velocidad, bien, no podemos saber la trayectoria). Vamos a trabajar en todo momento con probabilidades, algo que supuso un "shock" para los físicos más ortodoxos que no concebían una Física de incertidumbres. Para la historia queda la frase de Einstein criticando la Mecánica Cuántica:

"Dios no juega a los dados"

Más allá de protones y neutrones

¿De qué está hecha la materia? De átomos


¿De qué están hechos los átomos? De protones, neutrones y electrones


¿De qué están hechos los protones, neutrones y electrones? Silencio


Ese silencio es reemplazado por el modelo estándar de física de partículas. En este post tocaremos de pasada este tema tan complejo de la Física, y en el que se trabaja cada día en los aceleradores de partículas, el más conocido, el del CERN (tunel subterráneo inaugurado en 2008 cerca de Ginebra, en Suiza).




Este modelo estudia las partículas elementales. ¿De qué están hechas las partículas elementales? No se sabe todavía. 


Algunas partículas elementales se unen para formar protones y neutrones. Ya sabemos de qué estan hechos (aunque más adelante concretaremos). 


¿Y los electrones? Pues bien, damos paso a la primera partícula elemental: el electrón. O sea, no se sabe de qué están hechos los electrones. De él sabemos que está cargado negativamente y que su masa es muy pequeña (0'000000000000000000000000000000911 Kg). El electrón forma parte de la Generación 1 de partículas elementales.


Esta ya la conocíamos. Una más desconocida, el neutrino electrónico. El neutrino electrónico es una partícula neutra muy pequeña. Se produce en la desintegración nuclear beta, que ya explicamos. Cada día somos atravesados por una cifra impensable de neutrinos. ¿De dónde vienen? Del Sol y de las estrellas, donde tienen lugar reacciones nucleares continuamente (o han tenido, ya que es posible que la estrella haya muerto hace unos cuantos años). ¿A dónde van? Atravesarán la Tierra siguiendo su camino.



Sigamos con la Generación 1, que vamos a completar con el quark arriba y el quark abajo. Deciros que a "los apellidos" de los quarks se les llama sabores. ¿Qué diferencia a ambos? Mientras que el arriba está cargado positivamente, el abajo está cargado negativamente. Además, el abajo es más másico que el arriba.


 
Pues bien, toda la materia está formado por la cuatro partículas de la Generación 1 (electrones, neutrinos electrónicos, quarks arriba y quarks abajo). Nosotros, somos una combinación de electrones, quarks arriba y quarks abajo. ¿Y dónde tenemos esos quarks? Formando los protones (2 quarks arriba y 1 abajo) y los neutrones (2 quarks abajo y 1 arriba).


La siguiente generación es, claro está, la 2. En esta podemos encontrar muones, quarks extraño, quarks encantado y neutrinos muónicos. Por último, la Generación 3, formada por tauones, neutrinos tauónicos, quarks fondo y quarks cima. No merece la pena destacar ninguna de las partículas de la Generación 2 y 3.

Todo lo que hemos visto son fermiones. La otra gran familia de partículas elementales son los bosones. ¿Diferencia? Los espines: mientras que el de los bosones es un número entero (por ejemplo, 1), el de los fermiones es un número fraccionario (por ejemplo, 1/2). ¿Y qué es el espín? Es un momento angular que la partícula tiene por ser ese tipo de partícula, es una propiedad intrínseca. Es como la masa o la carga. Queda muy bien explicado en este video:

Los bosones transmiten fuerzas. Son el fotón, el gluón, el bosón W y el bosón Z. El fotón transmite la fuerza electromagnética, por ejemplo, la luz, las ondas microondas o los rayos X. 


El gluón (del inglés, "glue", pegamento) se encarga de trasmitir la fuerza nuclear fuerte, la que hace que los protones del núcleo no se repelan (misma carga), y permanezcan unidos.  


 
Los bosones W y Z se encargan de la fuerza nuclear débil, responsable de la desintegración beta que ya explicamos en el post "Bomba sucia: la bomba que no explota".


 
Falta una fuerza: la fuerza gravitatoria. ¿Cómo se transmite? No se tiene todavía respuesta. 


Acabo el post son este resumen: