Para facilitar la cosas, se usan modelos. Situaciones que no se dan, pero son parecidas a otras que sí se dan. En este post vamos a ver el modelo más sencillo, el de la partícula en una caja.
Imaginemos una partícula encerrada en una caja de longitud L. Fuera, ponemos mucho potencial (infinito) para que no escape. La partícula se mueve en una única dirección. Con todas esas consideraciones, obtenemos:
Tanto la función de onda como la energía tienen fórmulas muy sencillas (en comparación con la que tendríamos en realidad).
Vamos a calcular la longitud de onda y la energía de una partícula con este modelo. También vamos a aprender a usar WolframAlpha para representar la función de onda y la de probabilidad, y vamos a comentarlas.
NOTA: en todo momento usaremos un modelo unidimensional (solo se mueve en el eje x). Se puede usar un modelo bidimensional y tridimensional, pero para la finalidad de este post, nos quedaremos en una dimensión.
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Tenemos una partícula encerrada en una caja de longitud 10 m y en el nivel de energía 3. Si la masa es de 4 Kg, calcula un función de onda y su energía:
Ψ = √(2/10) · sin (3πx/10) = 0'447 · sin(0'9425x)
E = (h·h·3·3) / (8· 4 · 10 · 10) ¨= 1'2325 ×10 -69 J
h = constante de Planck = 6'63 ×10 -34
Podemos representar la función de onda con WolframAlpha. Para ello solo cambiamos las comas de los decimales por puntos (anglosajones), y le damos al =. O sea, podemos "0.447 · sin(0.9425x)". Obtenemos:
Pero ojo, hemos dicho que nuestra partícula está encerrada en una caja de longitud 10, luego nos interesa solo la función de onda entre x = 0 y x = 10. Si introducimos en WolframAlpha "0.447 · sin (0.9425x), x = 0, x = 10", obtenemos:
Esta función me describe el movimiento de la partícula encerrada. En el ejemplo que hemos hecho, hemos usado una partícula con una masa de 4 Kg, o sea, de Cuántica nada. Podemos verlo en la energía, del orden de -69, ínfima casi.
¿Qué pasa si queremos calcular probabilidades (que como hemos dicho, es como vamos a trabajar en Cuántica)? Tal y como vimos en el post anterior, solo debemos elevar al cuadrado la función de ondas. Escribimos en WolframAlpha "(0.447 · sin (0.9425x))^2, x = 0, x = 10", le damos a "Use as referring to math instead" y obtenemos:
Donde se hace 0 es donde seguro que no está la partícula. Esas distancias son aproximadamente:
x = 0 (cero tercios de la longitud de la caja)
x = 3'4 (realmente 3'33, un tercio de la longitud de la caja)
x = 6'6 (realmente 6'66, dos tercios de la longitud de la caja)
x =10 (tres tercios de la longitud de la caja)
Donde hay un máximo, es donde hay más probabilidad de encontrar a la partícula. Esas distancias son:
x =1'75 (realmente 1'66, un sexto de la longitud de la caja)
x =5 (tres sextos de la longitud de la caja)
x = 8'25 (realmente 8'33, cinco sextos de la longitud de la caja)
Otro detalle en el que fijarse. La función de probabilidad es simétrica: la probabilidad de encontrar a la partícula en una mitad de la caja es la misma que la de encontrarla en la otra. Matemáticamente:
P (x < 5) = P (x > 5)
Si la partícula seguro que está en la caja, P (0 < x < 10) = 1, luego la probabilidad de encontrar a la partícula en el lado izquierdo de la caja (x<5) es 0'5 (50 %).
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Dejemos el ejercicio para ver algo más general. Esta ilustración compara energía y función de onda de partículas en una misma caja pero en distintos niveles de energía.
Vemos que la función de onda de la partícula de n=3, es idéntica a la que hemos calculado en el ejercicio. Y vemos que si n=1 "sube y baja" 1 vez, si n=2 "sube y baja" 2 veces, si n=3 "sube y baja" 3 veces ...
La diferencia de energía entre niveles aumenta, es decir, las ondas roja y azul están menos separadas que las ondas verde y roja, y estas menos separadas que las ondas negra y verde. O sea, a niveles de energía mayores, más separados estan.
¿ESTO PARA QUÉ SIRVE?
Este modelo es muy útil para empezar en Cuántica. Cálculos sencillos y donde se pueden aplicar conceptos importantes.
Además de la utilidad pedagógica, sirve como aproximación a un modelo real, el de alquenos conjugados.
Los alquenos son moléculas con un enlace doble entre carbonos (-C=C-). Los que tiene dos (dienos) pueden ser:
ALENOS:-C=C=C-
CONJUGADOS: -C=C-C=C-
AISLADOS: -C=C-C-C-C-C-C=C-
Los conjugados tienen un interés especial. Como entre dobles enlaces hay un enlace simple (si hubiera más sería aislado, si no hubiera ninguno sería aleno), los carbonos redistribuyen sus electrones para que esos no están tan localizados sobre los alquenos. A esto se le llama resonancia, y no vamos a darle más importancia (aunque realmente la tiene, permite predecir productos de reacciones y explicar la especial estabilidad de estos alquenos):
Cada flecha representa dos electrones, luego tenemos cuatro electrones que en la primera forma se desplaza hacia la derecha y en la segunda hacia la izquierda. Y salir no pueden salir de ahí (a no ser que reaccione, entonces podrían salir). ¿No le vemos algo de parecido al modelo de partícula en una caja?
Salto de nivel el que hemos dado en este post. El objetivo era introducir unos cálculos cuánticos sencillos, aprender a interpretarlos y usar herramientas informáticas, algo fundamental en Cuántica. En el próximo post, menos cálculos, prometido.
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